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教研通讯

番附教研第10期

番附教研

2016年第10期(总第10期)(2016年11月12日)       数学科主办

 

【索引】本期《番附教研》内容

【理论高地】《突出理性思维,弘扬数学学问》---数学学问在高考试题中的渗透    陈昂  任子朝

【数学寓言】饭桶与酒桶的寓言  (数学科  夏新桥)

【教有所思】专题《与圆有关的角》教学反思   (数学科   高杰)

            高考数学三角函数研究   (数学科   邵泽义)

【课题研究】小课题研究点滴谈  (数学科  陈则鹏)

 

【理论高地】

《突出理性思维,弘扬数学学问》

---数学学问在高考试题中的渗透    陈昂  任子朝

摘要:数学学问是国家学问素质教育的重要组成部分,其内涵是一种理性思维方法在实践过程中不断探索形成的数学史,数学精神及其应用。高考试题主要从数学史、数学精神、数学应用三个方面渗透数学学问。通过这种渗透

关键词:理性思维;数学学问;高考;数学应用

1.     数学学问的内涵

近些年来,人们对数学的内在价值和认识不断突破发展,对由此产生的数学学问研究更是得到了国内外数学家、教育家的关注。李大潜院士曾提出:“数学是一种先进的学问,是人类文明的重要基础。它的产生和发展在人类文明的进程中起着重要的推动作用,占有举足轻重的地位。”课程标准中也提出要了解数学在人类文明发展中的作用,逐步形成正确的数学观,提倡体现数学的学问价值。

数学学问是数学史、数学与学问、社会学的交叉学科。关于数学学问概念界定的文章较多,黄秦安认为数学学问可以表述为以数学学科为核心,以数学的思想、精神、方法、内容等所辐射的相关学问领域为有机组成部分的一个具有特定功能的动态系统,其基本要素是数学及与数学有关的各种学问对象。郑毓信等对数学学问的定义还有另外一种说明,“即一种由职业因素联系起来的特殊群体,数学共同体所特有的行为、观念和态度等。”这些定义从不同方面论述了数学学问的内涵,通过比较这些不同的定义,大家可以发现数学学问最主要内涵是一种理性思维方式在实践过程中的不断探索,形成的数学史、数学精神及其应用。

2高考试题中的数学学问

  数学学问体现了数学的人文价值和科学价值, 在培养学生数学素养的教育中扮演着重要角色。近年来,高考数学科试题中也开始渗透数学学问,主要体现在以下三个方面。

  2.1 渗透中国古代数学史考查

  数学是一门层层递进发展的学科。重大的数 学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的,它们不仅不会推翻原有的理论,而且总是包容原先的理论。因此数学史对学生数学素养的培养起着重要的作用。数学史作为试题背景,主要包括数学家生平故事,数学史事件,数学名著,数学名题,数学发展的历史等。以数学史为试题情景材料,可以引导中学生理解数学、培养学习数学的兴趣起到积极的推动作用;可以让学生感受数学家的崇高品质以及探究解决数知识题的过程;可以弘扬中国优秀传统学问,并使潜移默化增加学生的爱国主义情感。

例1:我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径。“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V,求其直径的一个近似公式。人们还用过一些类似的近似公式。根据判断,下列近似公式中最精确的一个是(    )

A.            B.           C.            D. .

例2:我国古代数学名著《数书九章》中有“天池 盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水。天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸。若盆中积水深九寸,则平地降雨量是___寸。

  中国古代数学取得了极其辉煌的成就,出现过 刘徽、祖冲之等伟大的数学家,以及众多数学名著,其中《九章算术》便是其中的代表作。这些中国古代数学名著是大家的丰富宝库,是灿烂悠久的中华文明的重要组成部分。中国古代数学遵循“经世致用”,涉及的研究大多与实际生活、生产结合紧密,具有浓厚的实际背景,其体现出明显的问题式、综合性和算法化的特征。这样设计的试题,考查中学立体几何中空间几何体部分的重要常识与算法结合在一起进行考查,既符合考生的认知水平,又可以引导考生关注中华传统学问。

  2.2 渗透数学精神

  数学是学习、培养理性思维的一个主要途径。 数学精神其内涵是人们在依靠思维能力对感性材料进行一系列抽象、概括、分析和综合,形成概念、判断或推理的认识过程中反映出的,重视理性认识活动,以寻找事物的本质、规律及内部联系的精神。它表现为一种信念,表现为对真理的追求,表现为一种基于事实的,正确合乎逻辑的推理形式。在试题中渗透数学精神,可以从以下几个方面做起:①体现反思性;②体现探究性;③体现独立思考。

  例3:(Ⅰ)已知正四棱锥的体积,求正四棱锥的表面积的最小值;

  (Ⅱ)一般地,设正 n 棱锥的体积 V为定值,试给 出不依赖于n的一个充分必要条件,使得正n 棱锥的表面积取得最小值。

本题含有两个小问,都是求表面积的最小值。 在第(Ⅰ)问中,给出的几何图形是具体的:正四棱锥,所给的体积也是一个固定值,在这样的背景条件下,让考生求四棱锥的表面积,试题所给的内容常识是学生常见的。第(Ⅱ)问则是在第(Ⅰ)问的前提下,更进一步,给出了正n棱锥这样一般几何图形,这样考生思考起来时,不大利于直观地画出几何图形进行思考。但是通过与第(Ⅰ)问进行比较可以发现,学生可以通过类比方法解决问题。在解题的过程中,学生会发现解题的思路是伴随着反思的,首先就一个特殊情况进行解题(第(Ⅰ)问),然后大家就一类普遍的情况进行研究(第(Ⅱ)问)。当对普遍情况进行研究时,则需要大家对特殊情况的解题进行分析和反思。通过这样的思维活动,也正好体现了数学的一般发展过程:从特殊到一般。

2.3 渗透数学应用

  数学的发展与社会的进步有着密切的联系,这 种联系是双向的,即一方面,数学的发展依赖于社会环境,受社会经济、政治、学问等诸多因素的影响;另一方面,数学的发展又反过来对人类社会的进步起推动作用,包括对人类物质文明和精神文明两大方面的影响。科学研究的发展和进步使得现代数学的抽象程度越来越高,数学概念与方法空前广泛地渗透到数学之外的其他学科领域和大家的生活。在试题中渗透数学应用,可以通过设计适合的试题情境,要求学生能够利用所学数学常识分析、解决实际生活、生产中的问题。

  例4:某地区空气质量监测资料表明,一天的空 气质量为优良的概率是0.75 ,连续两天为优良的概率是0.6 ,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是

  (A)0.8          (B)0.75            (C)0.6             (D)0.45

本题以当前社会关心的空气质量问题为背景, 给出了两个实际的随机事件及其概率,引导学生分析各事件及相应概率间的相互关系。试题的设计源于社会实际,体现了新课程内容与大家社会生活的密切相关性。试题设计了几个事件,要求学生能分析清楚各事件间的相互关系, 利用事件间的关系及相应计算公式解决概率的计算问题。

  例5:为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h)。试验的观测结果如下:

  服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:

  0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4

服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:

  3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5

  (Ⅰ)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?

  (Ⅱ)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?

 

合理安排试验以获取多个样本,并对多个样本 进行比较,以对所考查的问题作出统计结论是统计学中常见的问题,也是生产和生活中经常遇到的问题。对两样本的比较方法有多种,在中学阶段所学的统计常识中,可以用直方图、茎叶图作出直观的比较,也可以通过计算平均数、标准差等作出初步判断,还可以用列联表的独立性检验方法作出统计推断。本题以比较两种治疗失眠症的药的疗效为背景,设计实际问题,考查学生处理数据及运用统计常识解决问题的能力。试题贴近生活,具有现实意义,在提高学生学习数学与统计常识的兴趣,培养学生的应用意识,提升学生解决实际问题的能力等方面有着很好的引导作用。体现了新课程注重情感态度价值观,过程、实践与能力的教学理念。

思考及建议

数学是一门思维的学科。数学学问在本质上 体现了学问整体育人的基本要求,也是素质教育的基本要求。高中数学课程的总目标也明确指出:使学生在九年义务教育数学课程的基础上,进一步提高作为未来公民所必要的数学素养,以满足个人发展与社会进步的需要。要提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,形成锲而不舍的钻研精神和科学态度;具有一定的数学视野,初步认识数学的应用价值、科学价值和学问价值,逐步形成批判性的思维习惯,崇尚数学的理性精神,从而进一步树立辩证唯物主义世界观。在高考试题中渗透数学学问,可以适当引导中学数学教学,使得更多的教师关注数学学问,研究数学学问,将数学的本质教授给学生。学生通过数学学问的熏陶,可以促进对健全人格的养成。一方面,可以学到数学家不畏艰辛、不怕失败的精神;另一方面,又能学到以退为进、逐步调整的方法和策略,形成能进能退的开阔胸襟。这正是一种学问的迁移,一种学问的教育。

值得大家注意的是,数学学问是数学学科的一 个有机组成部分,高考试题在渗透数学学问时,应当注意与数学常识有机结合,注重体现其理性思维的本质内涵。可以通过创设新的情境、改变设问方式,选取适合的常识内容等多种方法渗透数学学问。近几年来,高考数学试题作出了大胆的尝试,高考中编制的数学试题,除了要实现能力考查的要求以外,还应当注重对数学学问的渗透,特别是对中国古代传统优秀学问的渗透,从而促进学生理性思维的发展。这应当是新时期数学科内容与能力改革考查的目标之一。

【数学寓言】

饭桶与酒桶的寓言  (数学科  夏新桥)

    酒桶总是喜欢嘲弄饭桶:“饭桶呀,你很荣幸啊,人们给你赋予了特定的含义,把那些既不会思考又不会做事,只会猛吃饭的人叫饭桶,哈哈哈…”饭桶听了,怒发冲冠,恨不得一脚把酒桶踢翻.但他还是克制住了,吵架打架并不是解决问题的好办法,他想寻找时机

通过更加有效的途径去征服酒桶.

   一天,饭桶手捧《数学好玩——好玩的几何》(科普名家李毓佩著,长虹出版企业,2004,1),聚精会神地读着.醉醺醺的酒桶不屑地说:“猪鼻子上插根葱——装象!饭桶都能读懂的书,书的编辑一定能拿诺贝尔科普奖了!”饭桶听而不闻.

   “哇!书上说开普勒(16世纪德国著名天文学家)有一本著作叫《葡萄酒桶的立体几何》.”饭桶对酒桶说.酒桶一听更来劲了:“到底是酒桶讨人喜欢,他干吗不把书名定为《饭桶的立体几何》?哈哈哈…”酒桶就这样不放过任何一个挖苦的机会,“不过,数学的书名怎么跟我酒桶挂上钩的呢?”酒桶自言自语道.饭桶平静地说:“那我就给你说明一下缘由吧.开普勒写了一本关于求面积和体积的书,苦于找不到一个好书名.有一天,他到酒店去喝酒,发现奥地利的葡萄酒桶和他家乡莱茵的葡萄酒桶不一样.他想,奥地利葡萄酒桶为什么要做成这样子呢?高一点好不好?扁一点行不行?…”

   “是啊,”酒桶插嘴道,“就象你饭桶这样子,矮胖矮胖的,找对象都难!而我呢,底面直径与高的比值恰好是黄金分割比0.618,标准英俊,多少姑娘爱慕呀!”

   “光是外表好看有何用?”饭桶接着说,“开普勒想,这里面会不会有什么知识?经过研究发现,当圆柱形酒桶的截面ABCD的对角线长度固定时,比如等于m,底面直径BC与高AB的比等于时,容积最大,装酒最多.你看这个图,奥地利的葡萄酒桶,恰好是按照这个比例做成的.这一意外的发现,使开普勒非常高兴,于是把他的书起名为《葡萄酒桶的立体几何》.”

   酒桶听迷糊了:“为什么按那个比例做,容积就最大呢?”

  “书上没讲,不过我想我能弄明白.”饭桶说.

“你?算了吧!”

 饭桶真的算了,而且一个星期后,饭桶收到一封从北京寄来的信,酒桶抢过来拆开一看,信是这样写的:“尊重的凡通先生:您好!请原谅我用谐音称呼您.您以如此不雅之名自称,实乃过份自谦也.

 来信收到,欣闻您是我的热心读者.您的关于葡萄酒桶容积最大值问题的证明,完全正确!我最欣赏的是您提出的新见解,的确更有实际意义.您真的很棒!我打算在拙著再版时把您的见解先容给读者,不知您同意否?……祝您取得更大成功!祝您快乐! ——李毓佩 2004/3/1. ”  

 饭桶是这样证明酒桶容积最大值问题的:                        

                                                                                  

当且仅当 即时,等号成立,

此时,圆柱的高

   饭桶又提出什么样的新见解令李毓佩先生赞赏呢?

[新命题] 表面积一定的酒桶,当底面直径与高之比为1:1时容积最大(即轴截面是正方形,也是“矮胖型”的,但没有奥地利酒桶那么“夸张”).

这更有实际意义:用一定表面积的铁皮如何做成容积最大的酒桶?

证明:记2(定值),用“导数法”.

,令,

又当时,;当时,,

所以,当时,V取得极大值(也是最大值).此时.由.

如果酒桶是无盖的,在表面积一定的条件下,高与底面直径之比又应是多少,才能使容积最大呢?对此饭桶也做出了正确的结论,请读者自行探索.

饭桶竟如此有知识!这是酒桶做梦都没想到的!

从此,酒桶变得老实厚道多了,因为他开始觉得自己才是真正的饭桶.饭桶呢,有了成就感,心情好多了.

不久以后,不知为什么,主人家竟拿饭桶装酒,拿酒桶装饭,这样一来,新任酒桶开心了,新任饭桶不乐了.可是有什么办法呢?新任饭桶想,不能让自己做名副其实的饭桶?再也不能花天酒地、浑浑噩噩,该虚心求教,发奋学习了!

工夫不负有心人,久而久之,饭桶终于知识大长.一天,酒桶斜倚墙角睡着了,饭桶忽然注意到酒桶里的液面由正立时的圆形变为斜立时的椭圆形!啊哈!用一个不平行于底面的平面去截圆柱,截面与圆柱侧面的交线不就是椭圆形的吗?或者说圆与椭圆之间通过正射影变换可以互相转化.由此能否根据圆的面积公式推导出椭圆的面积公式呢?这个灵感太有价值了!

两个月后,一封从外国寄来的信令饭桶受宠若惊,喜出望外:

“尊重的凡统先生;您好!

拜读了您在《数学通报》上发表的大作“投影法推导椭圆面积公式”,深受

启发.应广大读者迫切要求,我社准备第10次再版开普勒的名著《葡萄酒桶的立体几何》,很希翼您能同意大家将您的大作附录于此书有关章节……敬祝您硕果累累,健康快乐!——柏林大学出版社,10/1/2004.”

附文:投影法推导椭圆面积公式

   设椭圆的长半轴和短半轴之长分别为a、b,本文用一种易于为中学生接受的方式来推导椭圆的面积公式.

[引理] △ABC在平面内,它在平面内的射影为△A’B’C’, 、交成锐角. 则有:,其中S表示面积.

这一引理对于学过立体几何的中学生来说是很熟悉的,这里不予证明.

值得特别指出的是,引理中三角形换成椭圆,结论仍然成立. 因为大家可以用无限多个内接三角形无重叠地覆盖椭圆,相应的射影三角形也无重叠地覆盖椭圆的射影(注:这只是直观说明).

   下面推导椭圆面积公式.

   作一个二面角- l -,其平面角的大小为. 把椭圆置于平面内,使其长

轴垂直于棱l .在内建立直角坐标系x--O--y,如图所示.设P(x, y)是椭圆上任意一点,则有: (*)

   将坐标系x--O—y及椭圆投影到平面上,得直角坐标系x’—O’—y’及椭圆在上的射影, P点的射影为P’(x’,y’). 易知x’轴与x轴成角, y’轴与y轴平行, 所以有:  , y=y’, 代入(*)式, 得:  (#).

   当=b时,(#) 即是:,表明此时椭圆在上的投影是半径为b的圆.

由引理的推广知:S=S椭圆,即:S椭圆 椭圆=.

因此,椭圆的面积公式是:S椭圆.

看来,凡通与凡统都不是人们所不屑的饭桶.饭桶和酒桶终于有了如下共识:①大家都是桶,是兄弟.劳动者都是光荣的,饭桶与酒桶,唯分工不同而已,并无贵贱之分,应互相敬重,互相学习.②被人瞧不起并非总是坏事,有志者以之为发奋图强的动力.不过,话虽这么说,饭桶这名字毕竟太难听,而酒桶这名字却高雅许多(酒有深厚的学问底蕴嘛).所以酒桶总是难以掩饰其优越感,饭桶却很难完全抹去心头不快.

就这样,他们轮流当着饭桶和酒桶,吃喝之余,研讨知识.多年后,主人家嫌其旧把他们遗弃在野外.二桶饥寒交迫,穷困潦倒,正共商“常识创富”大计.一天,他们远远望见一个菜农模样的人朝他们走来,你猜二桶作何反应?诗曰:  

饭桶和酒桶,难耐腹中空.

遥望菜农至,飞滚草丛中.

【教有所思】

探析高考试题  提高复习效率

——以全国高考三角函数题为例

广州市yzc88亚洲城娱乐  邵泽义

全国高考数学越来越重视考查学生的运算求解能力,2014年的全国文理数学考纲都在强调“运算求解能力是思维能力和运算技能的结合”.三角函数专题能够很好地考查这一能力,因而成为全国高考数学的必考内容之一.本文以近五年全国数学卷为例进行分析,探究高考试题的特点,提高复习的效率,帮助同仁和同学们理解清楚三角函数专题的考点要求,促进考生对本部分常识的理解和掌握,落实师生对此专题复习的有效性.

引例  (2014年第16题)已知函数且.

   (1)求的值;

   (2)若,,求.

 

通过该引例及其解答过程不难发现三角函数专题的考查综合性非常强,这种位于解答题之首的大题涵盖了高考考纲在此专题中大部分重要考点和能力要求.现从如下四个方面对全国高考三角函数专题进行分析.

1 考查用代入法及整体代入思想计算求值的能力

代入法是求代数式的值最常用的方法,即把字母所表示的数值先直接代入,再计算求值.这种方法并不陌生,因为学生在初中学习代入消元法解二元一次方程组、代数式求值时,就已经学习过.进入高中,给定函数解析式和自变量的某个具体取值需要求相应的函数值时也采用直接代入法.如引例中的.然而,一旦涉及整体代入时,特别是前面的系数不是1时,例如2011年的文、理数学高考题的第二问.面对这种情况部分学生就搞不清楚该如何“代”和“换”了.原因就是没有理清整体与部分的辩证关系.

    例1 (2011年全国高考第16题) 已知函数

(1)    求的值;

(2)    设求的值.

       解:(1);

   (2)

      

      

         

       故

例2 (2011年广东高考第16题)已知函数

(1)       求的值;

(2)       设求的值.

(解法同例1相似).

    上述两道例题的第二问涉及,的值,在代入时需要把和作为整体,分别代入的解析式替换自变量.

2 考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的灵活运用

 在引例和本文例1(甚至2012、2013年文、理数学第16小题)的解题过程中,大家都用到了同角三角函数基本关系式和诱导公式.在高考中文、理数学考纲对此有如下要求:

①理解同角三角函数的基本关系式:;

②能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式.

1)同角三角函数基本关系的应用

已知一个角的某一个三角函数值,求这个角的其他三角函数值,这类问题用同角三角函数的基本关系式来求解.具体解题过程不仅涉及到运算能力的考查,还涉及到分类意识的考查.一般会分为如下三种情况:

(1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的,此类情况只有一组解..

(2)一个角的某一个三角函数值是已知的,但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出,解答这类问题,首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在象限或终边所在的位置,然后分不同的情况求解.

(3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的,此类情况须对字母进行讨论,并注意适当选取分类标准.

2)诱导公式及其运用.

课标要求掌握的诱导公式一共有六组,学生靠一味的“死记硬背”不仅学习效率低下,而且为导致身心疲惫.在此,建议“理解记忆”:依据高中阶段角的推广和三角函数的定义,自主动手动脑推导出这六组诱导公式;再深入了解“奇变偶不变,符号看象限”口诀的含义.

 

去负(化负角为正角)

诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数,因此常用于化简和求值.其解决问题的一般步骤是:

 

 

任意正角的三角函数

任意负角的三角函数

   

 

 

       
     
 
   

 

 

 

 

 

 

 

 

3 考查三角函数中的三角恒等变换

纵观2011到2014年的高考数学卷,都有涉及三角恒等变换,近几年的考纲对其做了如下要求:

①能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式;

②能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.

这里的几个公式很好地体现了数学符号语言的简洁美与对称美,同时,也让对数学符号“不感冒”的部分学生的头疼.他们要么记错公式,要么干脆不晓得公式,甚至是“自主建构”公式,例如:,.这些问题在普高类学校很常见.教师需要用些心思,引导学生按规律理解着记忆,或者用谐音口诀帮助学生记忆,例如:可以记为“赛跑跑赛,加减一致”,可以记为“跑跑赛赛,加减相反”.

 

4 考查三角函数图象及性质的综合应用

例3 (2010年全国高考第16题)已知函数在时取得最大值4. 

(1) 求的最小正周期;(2) 求的解析式;(3) 若(α +)=,求.   

分析:本题主要考查函数形式的三角函数的性质及其应用,考查与三角函数相关的运算,能很好地考查考生的运算求解能力和数学应用意识.

解:(1)

(2)由的最大值为4,易知=4,即,解得 ,

又 由 可得 ,所以函数解析式为

(3)    若(α +)=,则,                                 ,,,解得:.

本题主要考查三角函数的性质,连带着也考查了简单的三角函数方程、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数基本关系式.

虽然三角函数专题在近几年的全国高考卷中属于中档题,但其综合性非常强、覆盖考点较多.该题型位置特殊——经常置于第16小题(解答题的第一小题),其对考生答题有着重要的心理作用,高考备考中绝对不可轻视,尤其是普通高中.

专题《与圆有关的角》教学反思

      数学科   高杰

本人于2016年10月20日星期四上午第三节,上了一节专题公开课《与有关的角》作为课题研究.

对于本节课,我从以下几个方面进行教学后的反思:

一、课题的反思

课题《与圆有关关的角》范围太广,到底要讲与圆有关的角的计算还是与圆有关的角的证明,主题不明确,使得整个教学设计很凌乱,没有达到老师预想的教学效果.

二、教学设计及教学过程的反思

教学设计的第一个环节:课前热身,在讲解的过程中用时将近18分钟,时间过多,没有起到热身的作用,时间过长的原因是第3题、第4题,难度大,学生在作答时,不知如何入手,对于第3题,老师叫一名成绩较好的学生来解答,这名学生只是把答案告诉其他同学,并没有把他的思考方法教给其他同学,那么,老师在这个时候可以适当地打断他,让他先停下来,和讲题的学生,还有其他学生互动一下,也给其他学生一些点播,追问他:“所求的角是圆心角、圆周角吗?你是怎么想到的?,你是如何想到添加辅助线的?连接、、、,不可以吗?你添加辅助线的目的是什么?”.在引导的过程中,老师要把起关键作用的弧用彩色笔加以标识,让学生看见弧,知道它把圆心角、圆周角建立了一种关系,在以上一系列的追问中,就是在告诉学生解决这个问题是利用三角形的外角与内角的关系,把圆内、圆外的角转化成圆心角、圆周角,这样的教学过程就是在培养学生的数学思维、转化的数学思想方法的应用.

如:分析辅助线的添加情况:

 

 

       
     
 
   

 

 

 

 

 

 

 

 

学生在作答时出现图1的情况,要把这样的情况和学生一起分析,这样做辅助线的方法是找到了弧所对的圆心角,图中线条太多,圆心角与所求的角没有太大关联,老师可以继续追问,与弧有关的角还有圆周角,如图2,这样辅助线就自然生成,构造了一个与所求角有关的三角形,这样就把问题得以解决.

老师在总结第3、第4题的计算技巧时,向学生提了这样的问题:大家来看一下,第3、第4小题的答案数据与题中所给的数据有什么关系?提问不明确,学生无法作答,老师是带着学生总结出来的计算技巧,有些牵强,而且不理解,如果在教学设计上添加一般情况,弧所对的圆心角是,弧所对的圆心角是,从而计算图1的,图2的,显然技巧就自然而然总结出来.

对于归纳的第二个技巧方面要仔细研究.

 

教学设计的第二个环节:例题讲解

学生的审题时间不充足,要给学生3-5分钟的时间来理解题意,在学生不理解题意的情况下,老师地讲解,学生接受的效果一定不好,或者只是跟随老师的分析来理解,这样不能提升学生分析问题的能力.在学生审题的时候,老师要来回巡视,特别要关注那些毫无头绪的学生,走到他(她)的身旁,询问他(她)在什么地方存在问题,不理解,可以给予一定的点播.老师要思考这样的问题:一堂课中,在有限的时间内,什么样的时间给学生,什么样的时间由老师来讲解,即“做在讲之前”,这是每一个老师要适当把握的.在讲解例题时,老师应该设置一些问题帮助学生来理解,如,是什么角?能直接求吗?如何分解?课堂上最成功的地方是“老师怎样抛出问题”,特别是寻找问题的关键要由老师来做,学生不可能突破关键,这就是老师讲在“关键处”.对于例题的分析,老师在备课的时候要想,学生不会的地方在哪里,如何突破?在教学的过程中可以在黑板上列出简要的步骤,       

如:弧

这样的分析明显要添加一条辅助线,借助弧的桥梁作用来帮助解决问题,在总结时,要告诉学生在圆中找角的关系,要关注弧,把所求的角放在三角形中,见到垂直,联想垂径定理,半径的相等,存在等腰三角形等一系列有关常识.

教学的第三个环节:学以致用

题目的选取比课前热身的题目的选取要容易,这样的设计没有层进、递进,由浅入深的设计效果,会显得比较零散,由于前面的教学环节花的时间比较多,所以给学生分析理解的时间不充分,就是找同学草草的对了答案,老师的点评只是“好”,“很好”,语句过于简单,显得师生的互动比较平淡,这样的提问是没有必要的.学以致用后的例2比例1容易,只是看起来线条多,这也说明了设计在递进方面还欠考虑.

以上是我对《与圆有关的角》在教学设计和教学过程中存在的问题进行了一个深入的反思和总结,特别感谢伍老师和唐老师的精彩点评,受益匪浅,让我从中学到了很多关于如何进行有效教学的方法和技巧,教学是有章可循的,比如唐老师讲到:在解决问题时,老师要把解决问题的程序交给学生:第一步...,

第二步...,第三步...,等等,让学生遇到此种类型或类似的题型就可以按部就班的完成,还要唐老师提出,课堂上的追问环节,是培养学生分析问题的能力,几何课的学习就是解决问题的思想方法,画出思维导图帮助学生理解消化所学的内容.又如伍老师讲到:对所讲内容的深刻认识,利用它作为载体带领学生思考解决问题,小技与大道的运用,重视变式题型,数学思想方法的应用.

【课题研究】

小课题研究点滴谈

             数学科  陈则鹏

    2015年秋,杜少芬校长顾问提出大家学校要在课堂教学方面有所研究。于是以自愿报名的方式组建了以陈则鹏老师为组长,以杜少芬校长顾问、黄龙现、彭驯、高杰几位老师为成员的研究小组。本小组开始以《中学数学例题教学的实证研究》为课题的校本课题研究。

在课题的研究过程中大家意识到,例题研究的过程中学生的解题能力的提高至关重要,如何提高学生的解题能力是摆在大家面前的一大难题。解题教学从来就是中学数学教学中不可缺失的一个重要组成部分。目前,国内中学数学解题教学的现状是:很多教师在教学时一味地采用题海战术和“满堂灌”的教学策略,同时,不少教师为了赶教学进度,在讲解时只是草草地分析完该题目的解答过程就算完成了教学任务,缺少对解题方法与技巧的剖析、反思,更不用说通过变式转化、探究归纳来对思维方法进行针对性的培养和训练。学生的解题能力得不到提升,“没有成功的喜悦”,久而久之,学习的兴趣自然就会降低,从而影响了后续的学习。长期以来,从事教学一线的数学教师们也致力于中学数学解题教学的研究,但研究内容仅局限于反思解题方法、一题多解或者是多解归一等方面,比较少涉及到对思维品质的影响和发展的研究,无法从根本上解决中学解题教学中所存在的问题。课题组的几位老师在杜少芬校长顾问的主持下,决定对这一专题进行尝试研究。正当大家如火如荼地工作的同时,2016年4月,广东教育学会教育科研规划小课题研究在全省全面铺开,这一消息无疑如沐春风,课题组的成员异常兴奋,大家的研究正好与上级科研精神吻合。于是一个《基于哲学思想的中学数学微型专题教学的实践研究》课题应运而生,2016年5月,大家的课题得到广东教育学会教育科研规划小课题研究会的立项批准。下面以大家的“小课题研究”专题研究过程中的一点体会与大家分享。

一、什么是小课题研究

所谓小课题研究,主要是指中小学教师在短时期内以解决自身教育教学实际问题为中心,采用适宜的方法积极主动进行实践改进的一种课题研究方式。

小课题研究以课堂为现场、以教学为中心、以教师为主体、从实际出发开展教学研究,每个教师可根据自己兴趣、特长、需要和实践中发现的不同问题进行个性化研究,得出有一定“价值”的经验或结论。小课题研究以“小”见长,它体现在以下几个方面:

1.研究的切入点相对较小:小课题研究不是为了构建某种宏大的理论,也不是为了发现某种普遍的规律,而是根据教学需要与日常教学戚戚相关,关注教学活动中的某一个“点”或某个细节。例如初一数学教师黄龙现在教学中发现学生在学习《有理数》时,学生很容易出现符号的错误,于是就搞了个“初一起始年级数学教学中如何克服有理数计算符号变化的错误问题”研究;初二数学教师陈则鹏老师在初二的教学中发现学生在解数学选择、填空题时的速度太慢,于是就搞了个“数学‘基本图形’和‘基本结论’在解选择、填空题中的便利作用” 研究;高杰老师在初三教学中感到学生在解与圆有关的角时有些困难,就搞了个“‘弧’在解与圆有关的角的题目中的‘桥梁’作用”;高一数学教师彭驯老师在学生作业中对求函数值域时,有一部分学生入手慢,于是就设计了一个“求函数值域的方法”的课题,等等。也许这些问题有些“小家子气”,但它的确是大家教学中遇到的最为实际的问题,是提高学生解题能力最为关键的问题。课题实施这段时间,通过学生调查,很多学生感到对他们的有关这些类型的题目时,解题速度有了较大的提高。

2.研究投入相对较少:小课题研究涉及人员少,都是四、五人在一起进行;行动快,开会容易,地方小,在杜校办公室即可;花费少,在校本课题研究时没花学校一分钱,没领学校一分钱的加班费。今年的省级课题研究,也只是请专家来有了一点费用。总之“船小易操作。”

3.研究周期相对较短:小课题研究基于实际工作中解决具体问题,一个问题解决了,得到一点收获,就可以转入下一个问题研究。不需要触及问题的方方面面,更不需要形成系统的经验总结。

4.研究方法相对简单:小课题研究一般不需要专业研究人员具备的有关研究设计和说明的高级技术,只要会运用调查、案例、行动研究等法,低门槛、小而精、贴实际是它的特征。

5.研究成果相对质朴:从成果表达形式上,它一般不需要编写专著和撰写长篇结题报告、论文。它既可以是教育叙事、反思、案例、精品课例,也可以是听评课稿、学生作品、沙龙材料、教具或实物。

总之,小课题研究的目的是改进自己的教学实践,促进自己的专业发展;研究对象是自己教育教学实际当中具体的、细小的、真实的问题;研究方法简单,操作灵活,每天的“课堂”就是研究的现场,是一项的投入少见效快的工作。

二、怎样进行小课题研究

我在这里不想就课题研究的一般方法进行罗列,就大家在实践中的一些体会讲几点。

1.捕捉问题,形成小课题。例如:如皋市教师徐远贵老师发现,孩子们下课总爱玩各种各样的游戏卡,他便想能否把游戏卡引入教学呢?于是小课题《小学数学教学中游戏卡的开发和利用研究》就诞生了,他以当时所教的《数的整除》一章为内容,进行了大胆尝试,经过多次反复的试验,研制出一种“数学游戏卡”。这种游戏卡共12张,由12个数字组成,并规定了五种玩法,可以让学生在玩中学习“素数、合数”、“公倍数、公因数”、“最小公倍数”、“最大公约数”。实践证明,学生的学习效果很好,于是徐老师和他的备课组老师一起将小学各册的重、难点罗列出来,一一尝试,研究出了类似于扑克牌的二十多副小学数学游戏卡。现在,有三种游戏卡已经在全校推广,既激发了学习兴趣又提高了教学效果,受到了师生的普遍欢迎。又例如我在前面提到的“基本图形”在数学解题中的便利作用的问题,是我在教学中发现,大家这一届学生在解选择题和填空题时速度慢,究其原因,有些选择题目,老师觉得容易,学生觉得难,这个反差是由“经验”这个东西造成的,于是我就在课题组里搞了个“基本图形在数学解题中的便利作用”的研究,目前正在实践当中。

2. 小课题研究要在科学的理论的引导下进行,才会事半功倍。大家的课题研究,不是“摸着石头过河”,也不是“不怕失败”,课堂教学不能像搞科学试验那样,失败了重来。因为学生的成长时间不能倒回,教育工编辑没有理由在学生中进行失败的试验,否则大家就会犯无法挽回的错误。因此,先进的理论是支撑小课题研究的重中之重。大家课题组在立项时,杜少芬校长顾问就向大家提出以《实践论》、《矛盾论》作为大家的行动指南。实践论指出:“……人们在实践中引起的感觉和印象的东西反复了多次,于是在人们的脑子里生起了一个认识过程的突变(即飞跃),产生了概念。”“这个概念、判断和推理的阶段,在人们对于一个事物的整个认识过程中是更重要的阶段,也就是理性认识阶段”,“认识的能动作用,不但表现于从感性的认识到理性的认识之能动的飞跃,更重要的是还须表现于从理性的认识到革命的实践这一个飞跃。”大家的小课题研究正是在这一理论引导下进行的,从实践中发现问题,尝试解决问题,探究解决问题的通法,又用以引导学生。这样就避免了实践过程中的盲目性和主观性。

3.听课和评课是课题研究的主要过程和方法。众所周知,教学质量的提高主要靠课堂,

课堂是实施教学目标的主要过程,抓住了课堂,就等于抓住了重点。问题的解决,要靠课堂来落实,正因为如此,课题研究中听课和评课是重中之重。大家课题组基本上做到了每周有一节公开课,而且要求在录播室进行,并且课前要准备好教学设计、学案、课件,课后必评。通过一年的真抓实干,课题组每个老师都感到收获很大。特别是如何评课很重要,大家的做法是:(1)淡化形式,正确看待数学课的严密性。例如,在谈角的对称轴是角的平分线还是角的平分线所在的直线时,没有必要为此花费大量的时间。(2)抓住重点,正确处理常识与能力的关系。一节数学课,是传授常识是重点还是培养能力是重点,大家认为能力是重点,因为能力是教学的落脚点。我认为按照4:6的比例是恰当的。(3)思维训练,思维品质的培养比思维方法更重要。例如,有一道题“求证等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半”,大部分老师在讲解这一问题时采用作顶角的平分线这一作法,其理由是:①条件出现等腰三角形,作底边上的高是作辅助线的常用方法;②从结论上讲有2倍关系,应该“截长补短”法;笔者认为这样讲培养的定势思维法,或者说培养的是技能,而不是能力。我认为应该讲是一种边角转化的题目,即使不作辅助线,利用方程也很容易做出。这里讲的通法,我认为通法比优法更重要。

         4.定期组织学习好的教学理论和教学方法。在本次课题研究过程中,为了上好每节研讨课,课题组老师参考了较多的文献资料,研究了相关内容的不同教法,结合所教学生的学情,形成具有自己特点的教法。因此在研究过程中大家阅读了如《中学数学教学设计》、 《怎样解题》等专业书籍,同时也组织集体学习了毛爷爷的《实践论》等具有哲学思想的人文书籍。杜少芬校长顾问给大家进行了《实践论》的专题辅导,而且大家畅所语言,互相讨论,以求真正弄明白《实践论》的真谛。

    5.请专家引导。人们常说,听君一席话,胜读十年书。为开阔课题组成员的视野,大家在学校的大力支撑下,邀请了广州市教学研究室专家伍晓燕老师引导课题组的工作。通过听课、评课及专家引导,大家茅塞顿开,为后续的课题研究工作增强了信心。

    三、大家的收获

    我在这里谈的不是课题研究的结题问题,而是想谈大家的课题研究的目的是什么?我认为不要为研究而研究,最重要的是成果的应用价值。虽然大家还未有成果的展示,但是就目前大家已经尝到了甜头,学生思维品质的培养是提高学生解题能力的根本途径:①思维的条理性在解题中处于第一位;②搞好“归纳”是提高学生解题能力的有效途径;③关注学生“思维障碍”是提高数学成绩的决定性因素。如何研究一整套行之有效方案,是大家课题组的全体成员任重而道远......

 

 

 

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